2-2) 표본오차와 신뢰구간

1) 표본오차와 신뢰구간이란?

표본오차 (Sampling Error)
- 표본에서 계산된 통계량과 모집단의 진짜 값 간의 차이.
- 표본 크기가 클수록 표본오차는 작아짐.
- 이는 표본이 모집단을 완벽하게 대표하지 못하기 때문에 발생하며, 표본의 크기와 표본 추출 방법에 따라 달라질 수 있습니다.
    - 표본의 크기: 표본의 크기가 클수록 표본오차는 줄어듭니다. 더 많은 데이터를 수집할수록 모집단을 더 잘 대표하게 됩니다. (적당한 타협점을 찾아야 함)
    - 표본 추출 방법: 무작위 추출 방법을 사용하면 표본오차를 줄일 수 있습니다. 모든 모집단 요소가 선택될 동등한 기회를 가지게 해야 합니다. (공평해야 한다.)

 

0으로 만들 수는 없지만, 두 방법을 사용하여 표본오차를 줄여야 한다.

 

신뢰구간 (Confidence Interval)
- 신뢰구간은 모집단의 특정 파라미터(예: 평균, 비율)에 대해 추정된 값이 포함될 것으로 기대되는 범위를 나타냅니다.
- 신뢰구간 계산 방법
    - 신뢰구간=표본평균±z×표준오차
    - 여기서 z는 선택된 신뢰수준에 해당하는 z-값입니다. 예를 들어, 95% 신뢰수준의 z-값은 1.96입니다.
    - 일반적으로 95% 신뢰수준을 많이 사용합니다.

 

 표본오차, 신뢰구간 그림으로 확인하기

sample means -> sample

여기에 표본! 모집단과 표본의 평균이 거의 일치한다.

- 모집단과 표본 분포 (왼쪽 그림)
    - 붉은색 점선은 모집단의 평균
    - 파란색 점선은 표본의 평균
    - 모집단의 분포는 넓고, 표본 평균들의 분포는 좁아집니다.
    - 표본 크기가 커질수록 표본 평균이 모집단 평균에 더 가까워지는 경향을 보여줍니다.
- 신뢰구간 시각화 (오른쪽 그림)
    - 오른쪽 그림은 표본의 분포와 95% 신뢰구간을 보여줍니다.
    - 파란색 점선은 표본의 평균을 나타내고, 녹색 점선은 95% 신뢰구간의 상한과 하한을 나타냅니다.
    - 이 신뢰구간은 모집단의 평균을 포함할 것으로 예상되는 범위입니다.

 

import scipy.stats as stats

# 표본 평균과 표본 표준편차 계산
sample_mean = np.mean(sample)
sample_std = np.std(sample)

# 95% 신뢰구간 계산
conf_interval = stats.t.interval(alpha=0.95,
                                 df=len(sample)-1,
                                 loc=sample_mean,
                                 scale=sample_std/np.sqrt(len(sample)))

print(f"표본 평균: {sample_mean}")
print(f"95% 신뢰구간: {conf_interval}")

 

표본 평균: 168.500952592623
95% 신뢰구간: (np.float64(166.74526084504365), np.float64(170.25664434020237))

 

stats.t.interval란 무엇일까?

• scipy.stats는 SciPy 라이브러리의 일부로, 통계 분석을 위한 다양한 함수와 클래스들을 제공하는 모듈입니다.
• scipy.stats.t.interval 함수는 주어진 신뢰 수준에서 t-분포(밑에서 얘기하는 student t 분포)를 사용하여 신뢰 구간(confidence interval)을 계산하는 데 사용됩니다.

scipy.stats.t.interval(alpha, df, loc=0, scale=1)

 

alpha

신뢰 수준(confidence level)을 의미합니다. 예를 들어, 95% 신뢰 구간을 원하면 alpha를 0.95로 설정합니다.

df

자유도(degrees of freedom)를 나타냅니다. 일반적으로 표본 크기에서 1을 뺀 값으로 설정합니다 (df = n - 1).

loc

위치(parameter of location)로, 일반적으로 표본 평균을 설정합니다.

scale

스케일(parameter of scale)로, 일반적으로 표본 표준 오차(standard error)를 설정합니다. 표본 표준 오차는 표본 표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값입니다 (scale = sample_std / sqrt(n)).